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Options - le modèle de Black et Scholes
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Pour pouvoir estimer une valeur correcte de la prime d'une option, il est indispensable de commencer par l'estimation de la volatilité de l'actif sous-jacent. Mais il y a d'autres facteurs qui entrent aussi dans le calcul:

• le taux d'intérêt d'un actif sans risque.

• le rendement estimé pendant la vie de l'option de l'actif sous-jacent (les dividendes pour une action et les coupons pour une obligation).

Le modèle le plus connu qui applique ces principes et celui de Black et Scholes. Sans entrer dans tous les détails, l'hypothèse de base du modèle de Black et Scholes est que les fluctuations du prix de l'actif sous-jacent suivent une loi normale (loi de Gausse).

Le modèle de Black et Scholes est utilisé pour estimer la prime d'une option de style européen.

Nous allons utiliser la notation suivante:

• N(d) = valeur de la loi normale (celle des tables).
• r = taux d'intérêt sans risque.
• S = mesure de la volatilité de l'actif sous-jacent.
• X = prix de l'actif sous-jacent.
• K = prix d'exercice de l'option.
• t = temps restant avant l'expiration de l'option exprimé en fraction d'une année.
• e = exponentiel.
• ln = logarithme népérien.
• C = la prime d'une option d'achat.
• P = la prime d'une option de vente.

Pour calculer cette prime, il faut suivre quatre étapes que nous allons décrire.

Etape 1: estimation de la volatilité de l'actif.

La volatilité peut être estimée de plusieurs façons. Une des méthodes est de calculer sur l'historique des prix le pourcentage logarithmique des variations de prix sur une base annuelle.

Soit P_t le prix de l'actif le jour t.

Il faut calculer sur l'ensemble des données historiques la valeur R .   

R = P_t+1 / P_t

Ensuite il faut calculer la moyenne arithmétique de R notée AR:

Nous calculons ensuite l'écart type S en suivant la formule:

L'écart type doit être calculé sur base annuelle. Si vous ne disposez pas de données annuelles, il faut l'ajuster par un facteur temporel.

Etape 2: calcul de d1 avec la formule:

d1 = [ln(X / K) + (S² / 2) t] / [S (t)^0.5]

Etape 3: calcul de d2 avec la formule:

d2 = d1 - S (t)^0.5

Etape 4: calculer la valeur de la prime de l'option P et/ou C  avec la formule:

C = e^-rt [X N(d1) - K N(d2)]

P = e^-rt [K N(d2) - X N(d1)]
 avec N() qui est la valeur reprise de la table de la loi normale.

Cette méthode peut être ajustée pour tenir compte des dividendes ou coupons en déduisant ces revenus du prix de l'actif (les options ne reversent pas les dividendes ou coupons de l'actif sous-jacent).

Les valeurs de la loi normale peuvent être estimées avec Excel.

La formule de Black et Scholes est utilisée pour les options de style européen. Dans la section suivante nous allons estimer la valeur des options de style américain.